TÍTOL: Aproximació per pla tangent
AUTOR: Xavier Marcote

Aquesta applet està disenyada per ajudar en la comprensió de com s'obté el pla tangent a una superfície z=f(x,y) en un punt donat (P,f(P)) (P pertany al domini de f), i com es pot utilitzar aquest pla per obtenir 
un valor aproximat de f(P') per a punts P' prou propers a P.
Inputs : - funció z=f(x,y);
         - punts P, P' del pla-xy.
Outputs: - punt P3D=(P,f(P)) sobre la superfície z=f(x,y));
         - el gradient de f en P;
         - el vector normal n a la superfície en P3D (construcció en un gràfic auxiliar bidimensional);
         - el pla tangent a la superfície en P3D; 
         - el valor de f(P') i de la seva aproximació pel pla tangent en P3D.   

ACTIVITATS:

1) Entrar la funció f(x,y)=x^2+2y^2. En el gràfic esquerre inferior, clicar amb el mouse sobre el punt P i arrossegar-lo, i notar com el vector unitari u canvia. Notar que P3D=(P,f(P)) es troba sobre la superfície z=f(x,y).

2) Fixar el punt P al valor P=(2,1) (si es prefereix, es poden escriure les seves coordenades en comptes de fer servir el mouse). Obtenir analíticament grad f(P), el gradient de f en el punt P (és a dir, les derivades parciales de f 
   respecte a x i a y, en el punt P; resultat=(4,4)), calcular la norma (mòdul) d'aquest vector, dividir grad f(P) per la seva norma (obtenint vector unitari u), i comprovar que el resultat per a u coincideix amb el mostrat 
   en la casella corresponent (resultat: u=(1/sqrt(2),1/sqrt(2)).

3) En el gràfic del mig, notar com el vector (0,0,-1) es suma al vector (grad f(P),0) per donar el vector n, que és normal (ortogonal) a la superfície en el punt P3D=(P,f(P)).
 
4) Observar l'equació del pla tangent en el punt P3D. És del tipus  Ax+By+Cz=D, on (A,B,C)=n, i D és el valor obtingut en imposar que el pla contingui el punt P3D. Si P3D=(x0,y0,z0), una simple substitució ens porta a 
   D=Ax0+By0+Cz0; llavors, el pla tangent es pot escriure com Ax+By+Cz=Ax0+By0+Cz0 (o, equivalentement, com  A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0). Comprovar que això és així en el cas que s'està tractant, P=(2,1) i f(x,y)=x^2+2y^2. Vegeu 
   el pla tangent en el gràfic 3D de la dreta.

5) Encara amb f(x,y)=x^2+2y^2 i P=(2,1). Prendre un punt P' proper a P (en el domini de f, en el pla), i observar els valors de f(P') en les corresponents caselles, tant pel valor exacte como per l'aproximat pel pla tangent 
   en P (en P3D, per ser més precisos). Arrossegar P' de forma que cada cop s'apropi més a P, i notar com els dos valors de f(P') (exacte i aproximat) cada cop s'assemblen més. Aquest fet mostra clarament que aproximar el valor 
   d'una funció en un punt P' pel pla tangent en un altre punt P dóna millors resultats com més prop estigui P' de P.

6) Repetir passes 1 a 5 per d'altres superfícies z=f(x,y) i/o altres punts P, fins a entendre com es calcula el pla tangent en un punt i com es pot fer servir per obtenir valors aproximats d'una funció per punts prou propers.
   Què succeeix quan f(x,y)=ax+by per dos valors reals a,b donats?